Должна ли я, имея среднее профессиональное образование по специальности «учитель начальных классов», пройти переподготовку или повышение квалификации для работы в детском саду в качестве воспитателя?

Должность воспитателя, которая согласно Единому квалификационному справочнику должностей руководителей, специалистов и служащих, раздел «Квалификационные характеристики должностей работников образования», утвержденному приказом Минздравсоцразвития РФ от 26.08.2010 № 761н, относится к должностям педагогических работников. Квалификационной характеристикой по должности «воспитатель» установлены требования к уровню квалификации такого педагогического работника (не включая старшего) — высшее профессиональное образование или среднее профессиональное образование по направлению подготовки «Образование и педагогика» без предъявления требований к стажу работы либо высшее профессиональное образование или среднее профессиональное образование и дополнительное профессиональное образование по направлению подготовки «Образование и педагогика» без предъявления требований к стажу работы.

Таким образом, поскольку Вы имеете среднее профессиональное образование по направлению подготовки «Образование и педагогика» (педагогическое образование), Вы соответствуете установленным квалификационным требованиям и имеете право на занятие должности «воспитатель».

Может ли директор школы уволить учителя за не прохождение аттестации и неполучение соответствующей категории?

 Нет, не может. Положение о порядке проведения аттестации не предусматривает увольнение учителя за не прохождение аттестации.